Официальный веб-сайт государственного учреждения образования
«Гимназия №14 г. Гомеля»

г. Гомель, ул. Олимпийская, 18
тел. 61-00-10
email: school14@jdroo.by

Поиск информации
Фотогалерея

Ваше мнение
Знаете ли Вы о правилах безопасности в сети Интернет?
Да
Нет
Наш баннер
Поддержи свою гимназию!
Установи баннер у себя на сайте.
Электронные обращения
Если у Вас возникли вопросы, на которые Вы не нашли ответов, либо у Вас появились дополнительные вопросы по существующему на сайте материалу, Вы можете задать их нам, воспользовавшись формой обратной связи


"Видеть цель, верить в себя, не останавливаться на достигнутом!"

Тема: Диофантовые уравнения

Цель:

  • познакомить учащихся с методами решения диофантовых уравнений;
  • решение задач с использованием этого метода;
  • развивать познавательный интерес учащихся, включая их в самостоятельную работу;
  • воспитывать творческое отношение к изучаемому материалу, логичность и последовательность, обоснование в решении задач.


1. Организационный момент
2. Объяснение новой темы

Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых необходимо найти целые решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух. Эти уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.

Это, например, уравнения:

Такие уравнения, а их называют уравнениями в целых числах, рассматривались еще в глубокой древности. Особенно много ими занимался александрийский математик Диофант, живший в III в.

Историческая справка (выступление ученика).

Итак, рассмотрим задачи, приводящие к уравнениям, в которых неизвестные по смыслу  могут принимать только целочисленные значения.

3. Решение задач

Задача № 1. К однозначному числу слева приписали цифру и получили число в 31 раз больше первоначального. Какое число приписали?

Решение.

Пусть x – однозначное число, у – цифра, которую приписали. Тогда  - двузначное число, которое в 31 раз больше однозначного. Составим уравнение:


Так как x є N, x изменяется от 1 до 9,

у є N, у изменяется от 1 до 9.

Подбором получаем


x

1

2

3

4

у

3

6

9

16


Проверка

31 = 31?1              31 = 31

62 = 31?2              62 = 62

93 = 31?3              93 = 93


Решением  уравнения (*), удовлетворяющим условию задачи, являются пары чисел (1;3), (2;6), (3;9).

Ответ: 3; 6; 9.

Задача № 2. К двузначному числу слева и справа приписали по единице и получили число в 23 раза больше первоначального. Назовите двузначное число?

Решение.

Пусть x – цифра десятков, у – цифра единиц, тогда  - двузначное число. Так как к двузначному числу слева и справа приписали по единице, то имеем число 11, которое в 23 раза больше первоначального. Составим уравнение:

Всякое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10, значит, у = 7, х = 7. Решением уравнения является пара чисел (7;7).

Ответ: 77.

Задача № 3. Стороны прямоугольника выражены целыми числами. Какова длина сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?

Решение.

Пусть х – длина прямоугольника, тогда у – ширина.

Р = 2 (х + у) – периметр прямоугольника,

S = ху – площадь прямоугольника.

Так как по условию задачи периметр численно равен площади, то составим уравнение:

Разделим левую и правую части уравнения на 2ху, имеем:


подбором имеем


х

3

4

6

у

6

4

3


Решениями уравнения (*) в «натуральных  числах» являются пары чисел (3;6); (4;4); (6;3).

Ответ: 3 и 6; 4 и 4; 6 и 3.

Итак, простейший пример диофантового уравнения имеет вид

 ах + ву = с, где а, в, с – целые числа.

Чтобы решить такое уравнение, достаточно выразить одну переменную через другую и ответ найти подбором, используя признаки делимости.

Интересно отметить, что сведения о биографии Диофанта можно почерпнуть только из надписи на его гробнице, которая составлена в виде математической задачи.


Скажи мне, скольких лет достигнув, смерть воспринял Диофант?

Для решения задачи составим уравнение:


Ответ: 84 года.


4. Итог урока

На уроке учащиеся познакомились с методом решения алгебраических уравнений вида: ах + ву = с, с целыми коэффициентами. Чтобы решить такое уравнение, достаточно выразить одну переменную через другую и ответ найти подбором, используя признаки делимости. К диофантовым уравнениям приводят задачи, по смыслу которых неизвестные значения могут быть только целыми числами.

Домашнее задание

Задача.

Каждый зритель, пришедший на спектакль «Королевский жираф», принёс с собой либо дохлую кошку, либо два кочана гнилой капусты, либо три тухлых яйца. После спектакля оба артиста – король и герцог – были с ног до головы закиданы припасами, причем на долю каждого досталось поровну предметов. Правда, король принял на себя лишь пятую часть всех яиц и седьмую часть капусты, но все 64 дохлые кошки полетели именно в него.

Сколько зрителей пришло на представление?

 

Министерство образования республики БеларусьaduДетский правовой сайтАкадемия последипломного образованияГомельский городской исполнительный комитетГомельский областной институт развития образованияРегиональный центр тестирования и профессиональной ориентации учащейся молодежиБелорусская республиканская пионерская организацияРоссийский центр науки и культуры в Минске Проект «Книга Беларуси XIV – XVIII веков» Могилевский институт МВД Республики Беларусь